Barış Alper Yılmaz, futbol kariyerine Rize Özel İdarespor’da başladıktan sonra 2017-2018 sezonu öncesi 17 yaşındayken Ankara Demirspor’a transfer oldu. Başlangıçta 5 lig ve 2 Türkiye Kupası maçına çıkan genç futbolcu, takımıyla TFF 2. Lig’e yükselme başarısı gösterdi. 2018-2019 sezonunda 16 lig ve 1 kupa, 2019-2020 sezonunda ise 19 lig ve 1 kupa maçında forma giyen Barış Alper, genellikle sağ kanatta görev yapıyordu.
Ankara Keçiörengücü’ne transfer olduktan sonra performansıyla dikkat çeken Barış Alper, 34 lig maçında 8 gol atarak göz doldurdu. 2021’de Galatasaray’a transfer olan genç futbolcu, 21 milyon lira bonservis bedeliyle sarı-kırmızılı ekibe katıldı. Ancak, 2021-2022 sezonunda beklenen performansı gösteremeyen Galatasaray, tarihinin en kötü sezonlarından birini yaşadı. Barış Alper ise 23 maçta görev alırken gol kaydedemedi.
Okan Buruk’un teknik direktörlüğü döneminde yükselişe geçen Barış Alper, 2022-2023 sezonunda 25 lig ve 5 Türkiye Kupası maçında forma şansı buldu. Derbilerdeki performansıyla dikkat çeken genç futbolcu, hem teknik direktörün hem de taraftarların gözündeki yerini sağlamlaştırdı. 2023-2024 sezonunda ön plana çıkan genç futbolcu, Galatasaray’ın şampiyonluk yolundaki en önemli isimlerden biri oldu.
Bu sezon Galatasaray ve A Milli Takım ile 70 maça çıkan Barış Alper, 55 resmi müsabakada sarı-kırmızılı formayı terletirken milli formayı da 15 kez giydi. EURO 2024’teki performansıyla da beğeni toplayan genç futbolcu, mücadeleci ruhu ve hırslı oyunuyla takımına büyük katkı sağladı. Özellikle rakip savunmalar üzerinde yarattığı baskı ve pozisyon hazırlama yeteneği ile övgü toplayan Barış Alper, Avrupa futbol kamuoyunun da dikkatini çekti. Yabancı basın mensupları ve futbolcular, genç yıldızın performansını övgüyle karşıladılar.